设$\displaystyle\sum_{n=m}^{\infty}a_n$是实数的形式级数，如果这个级数是绝对收敛的，那么它是条件收敛的.

证明：该级数绝对收敛，说明对于任意给定的正实数$\varepsilon$,都存在整数$N$,使得对于一切$p,q\geq N$，有

$$\sum_{n=p}^{q}|a_n|<\varepsilon$$

而

$$|\sum_{n=p}^{q}a_n|\leq\sum_{n=p}^{q}|a_n|<\varepsilon$$

因此条件收敛.

关键是书上说在这种情形下还有三角不等式

$$|\sum_{n=m}^{\infty}a_n|\leq\sum_{n=m}^{\infty}|a_n|$$

下面我就来证明这个三角不等式.

对于任意整数$N$,

$$|\sum_{n=m}^{N}a_n|\leq\sum_{n=m}^{N}|a_n|$$

我们知道，

$$\sum_{n=m}^{\infty}a_n=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=m}^{N} a_n$$

且$$\sum_{n=m}^{\infty}|a_n|=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=m}^N|a_n|$$.

事实上，我们有一个常见结论，即两个收敛的数列$(a)_{n=m}^{\infty}$和$(b)_{n=m}^{\infty}$,若$\forall i\in\mathbb{Z},i\geq m$,$a_i\leq b_i$,则$\lim_{n\to\infty}a_n\leq \lim_{n\to\infty}b_n$.因此

$$|\sum_{n=m}^{\infty}a_n|\leq\sum_{n=m}^{\infty}|a_n|$$